Kreis von Apollonius
Apollonius von Perga zeigte, dass ein Kreis auch als der Satz von Punkten in einer Ebene mit einem konstanten Verhältnis (anders als 1) von Abständen zu zwei festen Brennpunkten, A und B definiert werden kann. (Der Satz von Punkten, wo die Abstände gleich sind, ist die senkrechte Winkelhalbierende von A und B , eine Linie.) Dieser Kreis wird manchmal gesagt, um zwei Punkte gezogen zu werden.
Der Beweis besteht aus zwei Teilen. Zuerst muß man beweisen, daß bei zwei Brennpunkten A und B und einem Verhältnis von Abständen jeder Punkt P, der das Verhältnis der Abstände erfüllt, auf einen bestimmten Kreis fallen muß. Sei C ein anderer Punkt, der auch das Verhältnis erfüllt und auf dem Segment AB liegt. Durch den Winkelhalbierenden-Theorem wird das Liniensegment PC den Innenwinkel APB halbieren , da die Segmente ähnlich sind:
A EIN P P B B P P = = A EIN C C B B C C . . {\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.} {\ Displaystyle {\ frac {AP} {BP}} = {\ frac {AC} {BC}}}
In analoger Weise halbiert ein Liniensegment PD um einen Punkt D auf AB verlängert den entsprechenden Außenwinkel BPQ, wobei Q auf AP verlängert ist. Da die Innen- und Außenwinkel auf 180 Grad summieren, beträgt der Winkel CPD genau 90 Grad, dh ein rechter Winkel. Der Satz von Punkten P, so dass der Winkel CPD ein rechter Winkel ist, bildet einen Kreis, dessen CD ein Durchmesser ist.
Zweitens siehe für einen Beweis, dass jeder Punkt auf dem angegebenen Kreis das gegebene Verhältnis erfüllt.
Querverhältnisse
Eine eng verwandte Eigenschaft von Kreisen beinhaltet die Geometrie des Kreuzverhältnisses von Punkten in der komplexen Ebene. Wenn A , B und C wie oben sind, dann ist der Kreis von Apollonius für diese drei Punkte die Sammlung von Punkten P, für die der absolute Wert des Kreuzverhältnisses gleich eins ist:
' Aufrechtzuerhalten [ [ A EIN , , B B ; ; C C , , P P ] ] ' Aufrechtzuerhalten = = 1. 1 {\displaystyle '[A,B;C,P]'=1.\ } {\ Displaystyle ' [A, B; C, P] ' = 1. \}
Anders gesagt, P ist ein Punkt auf dem Kreis von Apollonius genau dann, wenn das Kreuzverhältnis [ A , B ; C , P ] befindet sich auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene.
Generalised circles Generalisierte Kreise
Wenn C der Mittelpunkt des Segments AB ist , dann ist die Sammlung von Punkten P, die die Apollonius-Bedingung erfüllen
' Aufrechtzuerhalten A EIN P P ' Aufrechtzuerhalten ' Aufrechtzuerhalten B B P P ' Aufrechtzuerhalten = = ' Aufrechtzuerhalten A EIN C C ' Aufrechtzuerhalten ' Aufrechtzuerhalten B B C C ' Aufrechtzuerhalten {\displaystyle {\frac {'AP'}{'BP'}}={\frac {'AC'}{'BC'}}} {\ Displaystyle {\ frac {' AP '} {' BP '}} = {\ frac {' AC '} {' BC '}}}
Ist kein Kreis, sondern eine Linie.
Wenn also A , B und C in der Ebene deutliche Punkte erhalten, so wird der Ort der Punkte P, der die obige Gleichung erfüllt, als "verallgemeinerter Kreis" bezeichnet. Es kann entweder ein wahrer Kreis oder eine Linie sein. In diesem Sinne ist eine Linie ein verallgemeinerter Kreis unendlichen Radius.