Formel und Berechnung

Der Kreis ist die ebene Kurve, die den maximalen Bereich für eine gegebene Bogenlänge umschließt. Dies bezieht sich auf den Kreis auf ein Problem in der Kalkül der Variationen, nämlich die isoperimetrische Ungleichung. 

Gleichungen 

Kartesischen Koordinaten 

In einem x - y- kartesischen Koordinatensystem ist der Kreis mit Mittelkoordinaten ( a , b ) und Radius r die Menge aller Punkte ( x , y ) so

(x − a)² + ( y − b)² = r².

Diese Gleichung , die als die Gleichung des Kreises bekannt ist, folgt aus dem pythagoreischen Theorem, der auf jeden Punkt des Kreises angewendet wird: Wie in dem angrenzenden Diagramm gezeigt, ist der Radius die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Seiten von Länge sind | X - a | und | Y − b | Wenn der Kreis am Ursprung (0, 0) zentriert ist, vereinfacht sich die Gleichung 

x² + y² = r².

Die Gleichung kann in parametrischer Form mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus als geschrieben werden 

x X = = a ein + + r R cos Cos ⁡ ⁡ t T ,
y Y = = b B + + r R sin Sünde ⁡ ⁡ t T

Wobei t eine parametrische Variable im Bereich von 0 bis 2 π ist , die geometrisch als der Winkel interpretiert wird, den der Strahl von ( a , b ) nach ( x , y ) mit der positiven x- Achse bildet. An alternative parametrisation of the circle is: Eine alternative Parametrisierung des Kreises ist: x X = = a ein + + r R 1 1 − - t T 2 2 1 1 + + t T 2 2 . . {\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\,} {\ Displaystyle x = a + r {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}. \,} y Y = = b B + + r R 2 2 t T 1 1 + + t T 2 2 {\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}\,} {\ Displaystyle y = b + r {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \,} In this parametrisation, the ratio of t to r can be interpreted geometrically as the stereographic projection of the line passing through the centre parallel to the x -axis (see Tangent half-angle substitution ). Bei dieser Parametrisierung kann das Verhältnis von t zu r geometrisch als die stereographische Projektion der durch die Mitte parallel zur x- Achse verlaufenden Linie interpretiert werden (siehe Tangenten-Halbwinkel-Substitution ). However, this parametrisation works only if t is made to range not only through all reals but also to a point at infinity; Diese Parametrisierung funktioniert jedoch nur, wenn t nicht nur durch alle Reals, sondern auch zu einem Punkt im Unendlichen reicht. otherwise, the bottom-most point of the circle would be omitted. Sonst würde der unterste Punkt des Kreises weggelassen werden. In homogeneous coordinates each conic section with the equation of a circle has the form In homogenen Koordinaten hat jeder Kegelschnitt mit der Kreisgleichung die Form x X 2 2 + + y Y 2 2 − - 2 2 a ein x X z Z − - 2 2 b B y Y z Z + + c C z Z 2 2 = = 0. 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.\,} {\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -2axz-2byz + cz ^ {2} = 0. \,} It can be proven that a conic section is a circle exactly when it contains (when extended to the complex projective plane ) the points I (1: i : 0) and J (1: − i : 0). Es kann bewiesen werden, dass ein Kegelschnitt ein Kreis ist, genau wenn er (wenn er sich auf die komplexe projektive Ebene erstreckt ) die Punkte I (1: i : 0) und J (1: - i : 0) enthält. These points are called the circular points at infinity . Diese Punkte werden die Kreispunkte im Unendlichen genannt . Polar coordinates Polar Koordinaten In polar coordinates the equation of a circle is: In Polarkoordinaten ist die Gleichung eines Kreises: r R 2 2 − - 2 2 r R r R 0 0 cos Cos ⁡ ⁡ ( ( θ Θ − - ϕ Φ ) ) + + r R 0 0 2 2 = = a ein 2 2 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,} {\ Displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) + r_ {0} ^ {2} = a ^ {2} \,} where a is the radius of the circle, Wo a der Radius des Kreises ist, ( ( r R , , θ Θ ) ) {\displaystyle (r,\theta )} {\ Displaystyle (r, \ theta)} is the polar coordinate of a generic point on the circle, and Ist die Polarkoordinate eines generischen Punktes auf dem Kreis und ( ( r R 0 0 , , ϕ Φ ) ) {\displaystyle (r_{0},\phi )} {\ Displaystyle (r_ {0}, \ phi)} is the polar coordinate of the centre of the circle (ie, r 0 is the distance from the origin to the centre of the circle, and φ is the anticlockwise angle from the positive x -axis to the line connecting the origin to the centre of the circle). Ist die Polarkoordinate des Mittelpunkts des Kreises (dh r & sub0; ist der Abstand vom Ursprung zum Mittelpunkt des Kreises und φ ist der Winkel gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x- Achse zu der Linie, die den Ursprung mit dem Zentrum verbindet Der Kreis). For a circle centred at the origin, ie r 0 = 0, this reduces to simply r = a . Für einen Kreis, der am Ursprung zentriert ist, dh r 0 = 0, so reduziert sich einfach auf r = a . When r 0 = a , or when the origin lies on the circle, the equation becomes Wenn r 0 = a oder wenn der Ursprung auf dem Kreis liegt, wird die Gleichung r R = = 2 2 a ein cos Cos ⁡ ⁡ ( ( θ Θ − - ϕ Φ ) ) . . {\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).\,} {\ Displaystyle r = 2a \ cos (\ theta - \ phi). \,} In the general case, the equation can be solved for r , giving Im allgemeinen Fall kann die Gleichung für r gelöst werden r R = = r R 0 0 cos Cos ⁡ ⁡ ( ( θ Θ − - ϕ Φ ) ) ± ± a ein 2 2 − - r R 0 0 2 2 sin Sünde 2 2 ⁡ ⁡ ( ( θ Θ − - ϕ Φ ) ) , , {\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}},} {\ Displaystyle r = r_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta - \ phi )}},} Note that without the ± sign, the equation would in some cases describe only half a circle. Beachten Sie, dass die Gleichung in keinem Fall nur ein halbes Kreis beschreiben würde. Complex plane Komplexe Ebene In the complex plane , a circle with a centre at c and radius ( r ) has the equation In der komplexen Ebene hat ein Kreis mit einem Zentrum bei c und Radius ( r ) die Gleichung ' Aufrechtzuerhalten z Z − - c C ' Aufrechtzuerhalten = = r R {\displaystyle 'zc'=r\,} {\ Displaystyle ' zc ' = r \,} . . In parametric form this can be written In parametrischer Form kann dies geschrieben werden z Z = = r R e E i ich t T + + c C {\displaystyle z=re^{it}+c} {\ Displaystyle z = re ^ {it} + c} . . The slightly generalised equation Die leicht verallgemeinerte Gleichung p P z Z z Z ¯ ¯ + + g G z Z + + g G z Z ¯ ¯ = = q Q {\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q} {\ Displaystyle pz {\ overline {z}} + gz + {\ overline {gz}} = q} for real p , q and complex g is sometimes called a generalised circle . Für echte p , q und komplexe g wird manchmal ein generalisierter Kreis genannt . This becomes the above equation for a circle with Dies wird die obige Gleichung für einen Kreis mit p P = = 1 1 , , g G = = − - c C ¯ ¯ , , q Q = = r R 2 2 − - ' Aufrechtzuerhalten c C ' Aufrechtzuerhalten 2 2 {\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-'c'^{2}} {\ Displaystyle p = 1, \ g = - {\ overline {c}}, \ q = r ^ {2} - ' c ' ^ {2}} , since , schon seit ' Aufrechtzuerhalten z Z − - c C ' Aufrechtzuerhalten 2 2 = = z Z z Z ¯ ¯ − - c C ¯ ¯ z Z − - c C z Z ¯ ¯ + + c C c C ¯ ¯ {\displaystyle 'zc'^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}zc{\overline {z}}+c{\overline {c}}} {\ Displaystyle ' zc ' ^ {2} = z {\ overline {z}} - {\ overline {c}} zc {\ overline {z}} + c {\ overline {c}}} . . Not all generalised circles are actually circles: a generalised circle is either a (true) circle or a line . Nicht alle generalisierten Kreise sind eigentlich Kreise: ein verallgemeinerter Kreis ist entweder ein (wahrer) Kreis oder eine Linie . Tangent lines Tangentenlinien Main article: Tangent lines to circles Hauptartikel : Tangentenlinien zu Kreisen The tangent line through a point P on the circle is perpendicular to the diameter passing through P . Die Tangentenlinie durch einen Punkt P auf dem Kreis ist senkrecht zu dem durch P durchgehenden Durchmesser. If P = ( x 1 , y 1 ) and the circle has centre ( a , b ) and radius r , then the tangent line is perpendicular to the line from ( a , b ) to ( x 1 , y 1 ), so it has the form ( x 1 − a ) x + ( y 1 - b ) y = c . Wenn P = ( x 1 , y 1 ) und der Kreis den Mittelpunkt ( a , b ) und den Radius r hat , so ist die Tangentenlinie senkrecht zur Linie von ( a , b ) bis ( x 1 , y 1 ) Hat die Form ( x 1 - a ) x + ( y 1 - b ) y = c . Evaluating at ( x 1 , y 1 ) determines the value of c and the result is that the equation of the tangent is Die Auswertung bei ( x 1 , y 1 ) bestimmt den Wert von c und das Ergebnis ist, dass die Gleichung der Tangente ist ( ( x X 1 1 − - a ein ) ) x X + + ( ( y Y 1 1 − - b B ) ) y Y = = ( ( x X 1 1 − - a ein ) ) x X 1 1 + + ( ( y Y 1 1 − - b B ) ) y Y 1 1 {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1}\,} {\ Displaystyle (x_ {1} -a) x + (y_ {1} -b) y = (x_ {1} -a) x_ {1} + (y_ {1} -b) y_ {1} \,} or oder ( ( x X 1 1 − - a ein ) ) ( ( x X − - a ein ) ) + + ( ( y Y 1 1 − - b B ) ) ( ( y Y − - b B ) ) = = r R 2 2 . . {\displaystyle (x_{1}-a)(xa)+(y_{1}-b)(yb)=r^{2}.\!\ } {\ Displaystyle (x_ {1} -a) (xa) + (y_ {1} -b) (yb) = r ^ {2}. \! \} If y 1 ≠ b then the slope of this line is Wenn y 1 ≠ b ist, dann ist die Steigung dieser Zeile d D y Y d D x X = = − - x X 1 1 − - a ein y Y 1 1 − - b B . . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.} {\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1} -a} {y_ {1} -b}}} This can also be found using implicit differentiation . Dies kann auch mit impliziter Differenzierung gefunden werden. When the centre of the circle is at the origin then the equation of the tangent line becomes Wenn die Mitte des Kreises am Ursprung ist, dann wird die Gleichung der Tangentenlinie x X 1 1 x X + + y Y 1 1 y Y = = r R 2 2 , , {\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\!\ } {\ Displaystyle x_ {1} x + y_ {1} y = r ^ {2}, \! \} and its slope is Und seine Piste ist d D y Y d D x X = = − - x X 1 1 y Y 1 1 . . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.} {\ Displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1}} {y_ {1}}}}